Aziz Basmacı, 9 Haziran 1910'da Osmanlı Selanik'inde bir Kapancı ailesinde doğdu. İstanbul’a taşındıktan sonra eğitimini Şişli Terakki Lisesi'nde tamamladı.

Geçimini sağlamak için tekstil ticaretinde çalışırken, 1928 yılında Para Delisi adlı oyunla profesyonel tiyatroya ilk adımını attı. Seyirci karşısındaki ilk performansını Cumhuriyet Gençler Mahfeli’nde sergileyerek renkli bir sanat kariyerinin başlangıcını yaptı.

Basmacı, sahne deneyimini Şişli Halkevi’nin tiyatro kolunda aktif olarak çalışarak geliştirdi. Ancak, 1945 yılında Ses Opereti’ne (Ses Opereti) katılmasıyla ulusal çapta tanınmaya başladı. Salamon ve Tilki Adam gibi ikonik karakterleri canlandırmasıyla büyük beğeni topladı ve Türk tiyatrosunun sevilen bir ismi haline geldi.

1950'ler ve 1960'lar boyunca komedi ve vodvil dünyasında vazgeçilmez bir figür haline gelen Basmacı, sayısız tiyatro oyununda sahne aldı ve 60’tan fazla filmde rol aldı. Sahnedeki ve beyaz perdedeki çok yönlülüğü ve mizahi yeteneğiyle geniş bir hayran kitlesi edindi.

Çeşitli tiyatro topluluklarında çalıştıktan sonra, meslektaşı Kenan Büke ile birlikte Aziz Basmacı – Kenan Büke Topluluğunu kurdu. Bu topluluk, tiyatro kariyerinin son dönemini oluşturdu. Son büyük başarısını Kart Horoz adlı oyunla elde eden Basmacı, yoğun iş temposu ve yorgunluk nedeniyle zamanla sahneden çekilmek zorunda kaldı.
Türk tiyatrosu ve sinemasının bu usta ismiyle ilgili bir efsaneye göre, Aziz Basmacı hangi rolü oynarsa oynasın, sahneye her girişinde “eşşoğlu eşşekler!” diye bağırır, bu sıradışı selamlamasıyla alkışları toplar, ardından “normal” performansına devam edermiş.
14 Mart 1978'de, bir vergi davası duruşmasına katılmak için trenle Ankara'ya giderken geçirdiği kalp krizi sonucu hayatını kaybetti. Cenazesi İstanbul’daki Feriköy Mezarlığı’na defnedildi.
Basmacı'nın sanatsal mirası, onun izinden giderek oyuncu olan oğulları Yusuf Basmacı ve Nejat Basmacı ile yaşamaya devam etmektedir.